2016年北京宣武中考数学真题试卷及答案（WORD文档）

2016年北京宣武中考数学真题及答案

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1．如图，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（　　）

                        

（第1题图）

A．45°                   B．55°                  C．125°                  D．135°

2．神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28 000公里，将28 000用科学记数法表示应为（　　）

A．2.8×103               B．28×103              C．2.8×104               D．0.28×105

3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图，则正确的结论是（　　）

                       

（第3题图）

A．a>-2                   B．a<-3                  C．a>-b                  D．a<-b

4．内角和为540°的多边形是（　　）

                                

A B                      C D

5．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（　　）

                                

（第5题图）

A．圆锥                   B．三棱锥              C．圆柱                  D．三棱柱

6．如果a+b=2，那么代数式（a-）•的值是（　　）

A．2                   B．-2                  C．              D．-

7．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文不是轴对称的是（　　）

                                                

A B                      C D

8．在1~7月份，某种水果的每斤进价与售价的信息如图，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（　　）

                        

（第8题图）

A．3月份               B．4月份                  C．5月份                 D．6月份

9．如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（-4，2），点B的坐标为（2，-4），则坐标原点为（　　）

                        

（第9题图）

A．O1                   B．O2                  C．O3                     D．O4

10．为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价．水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：m3），绘制了统计图．如图，下面四个推断合理的是（　　）

①年用水量不超过180 m3的该市居民家庭按第一档水价交费；

②年用水量超过240 m3的该市居民家庭按第三档水价交费；

③该市居民家庭年用水量的中位数在150~180之间；

④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180．

                  

（第10题图）

A．①③                   B．①④                  C．②③                 D．②④　

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11．如果分式有意义，那么x的取值范围是　   　．

12．如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式：　   　．

                            

（第12题图）

13．林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：

移植的棵数n	1 000	1 500	2 500	4 000	8 000	15 000	20 000	30 000
成活的棵数m	865	1 356	2 220	3 500	7 056	13 170	17 580	26 430
成活的频率	0.865	0.904	0.888	0.875	0.882	0.878	0.879	0.881

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为　   　．

14．如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，若小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为　   　m．

                          

（第14题图）

15．百子回归图（如图）是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，…，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和，每列10个数之和，每条对角线10个数之和均相等，则这个和为　   　．

             

（第15题图）

16．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：

已知：直线l和l外一点P．（如图1）

求作：直线l的垂线，使它经过点P．

作法：如图2．

（1）在直线l上任取两点A，B；

（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；

（3）作直线PQ．

所以直线PQ就是所求的垂线．

请回答：该作图的依据是　   　．

                   

　（第16题图）

 

三、解答题（本题共13小题，共72分）

17．（5分）计算：（3-π）0+4sin 45°-+|1-|．

18．（5分）解不等式组：

19．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．

                            

（第19题图）

20．（5分）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．

21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（-6，0）的直线l1与直线l2：y=2x相交于点B（m，4）．

（1）求直线l1的表达式；

（2）过动点P（n，0）且垂于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，写出n的取值范围．

                         

（第21题图）

22．（5分）调查作业：了解你所在小区家庭5月份用气量情况：

小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有300户家庭，每户家庭人数在2~5之间，这300户家庭的平均人数均为3.4．

小天、小东和小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1，表2和表3．

表1  抽样调查小区4户家庭5月份用气量（单位：m3）统计表：

家庭人数	2	3	4	5
用气量	14	19	21	26

 

 

 

表2  抽样调查小区15户家庭5月份用气量 （单位：m3）统计表：

家庭 人数	2	2	2	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	4
用气量	10	11	15	13	14	15	15	17	17	18	18	18	18	20	22

表3  抽样调查小区15户家庭5月份用气量 （单位：m3）统计表：

家庭人数	2	2	3	3	3	3	3	3	3	4	4	4	4	5	5
用气量	10	12	13	14	17	17	18	19	20	20	22	26	31	28	31

根据以上材料回答问题：

小天、小东和小芸三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映该小区家庭5月份用气量情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．

23．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．

（1）求证：BM=MN．

（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

                               

（第23题图）

24．（5分）阅读下列材料：

北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业．

2011年，北京市文化创意产业实现增加值1 938.6亿元，占地区生产总值的12.2%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2 189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值2 406.7亿元，比上年增长9.1%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值2 749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3 072.3亿元，占地区生产总值的13.4%．

根据以上材料解答下列问题：

（1）用折线图将2011~2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据.

（2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值

　   　亿元，你的预估理由为　               　．

25．（5分）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．

（1）求证：AC∥DE．

（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．

                           

（第25题图）

26．（5分）已知y是x的函数，自变量x的取值范围x>0，下表是y与x的几组对应值：

x	…	1	2	3	5	7	9	…
y	…	1.98	3.95	2.63	1.58	1.13	0.88	…

小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图像与性质进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图像.

（2）根据画出的函数图像，写出：

①x=4对应的函数值y约为　   　；

②该函数的一条性质：　                　．

                         

（第26题图）

27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m-1（m>0）与x轴的交点为A，B．

（1）求抛物线的顶点坐标．

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．

①当m=1时，求线段AB上整点的个数；

②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图像，求m的取值范围．

                         

（第27题图）

28．（7分）如图，在等边三角形ABC中．

                    

（第28题图）

（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数．

（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．

①依题意将图2补全．

②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；

想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；

想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK… ．

请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）．

29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．

（1）已知点A的坐标为（1，0）．

①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式.

（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．

                               

（第29题图）

 

 

参考答案

一、1．B 【分析】由题图可知，∠AOB的度数为55°．故选B．

2．C 【分析】28 000=2.8×104．故选C．

3．D 【分析】由题图可知，-3<a<-2，1<b<2，所以-2<-b<-1，所以a<-b，故D正确．故选D．

4．C 【分析】设多边形的边数是n，则（n-2）•180°=540°，解得n=5．故选C．　

5．D 【分析】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选D．

6．A 【分析】∵a+b=2，∴原式=•=a+b=2．故选A．

7．D 【分析】A．是轴对称图形，故此选项不符合题意；B．是轴对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，故此选项不符合题意；D．不是轴对称图形，故此选项符合题意．故选D．

8．B 【分析】由图像中的信息可知，3月份的利润为7.5-5=2.5（元），4月份的利润为6-3=

3（元），5月份的利润为4.5-2=2.5（元），6月份的利润为3-1.2=1.8（元），故出售该种水果每斤利润最大的月份是4月份．故选B．

9．A 【分析】设过点A，B的直线表达式为y=kx+b．∵点A的坐标为（-4，2），点B的坐标为（2，-4），∴解得∴直线AB为y=-x-2，∴直线AB经过第二、三、四象限，如答图，由A，B的坐标可知，沿CD方向为x轴正方向，沿CE方向为y轴正方向，故将点A先沿着CD方向平移4个单位长度，再沿着EC方向平移2个单位长度，即可到达原点位置，则原点为点O1．故选A．

                        

　（第9题答图）

10．B 【分析】①由条形统计图可知，年用水量不超过180 m3的该市居民家庭一共有（0.25+0.75+1.5+1.0+0.5）=4（万户），×100%=80%，故年用水量不超过180 m3的该市居民家庭按第一档水价交费，正确；②∵年用水量超过240m3的该市居民家庭有（0.15+0.15+0.05）=0.35（万户），∴×100%=7%≠5%，故年用水量超过240 m3的该市居民家庭按第三档水价交费，错误；③∵5万个数据的中间是第25 000个和第25 001个数据的平均数，∴该市居民家庭年用水量的中位数在120~150之间，错误；④由①知，该市居民家庭年用水量的平均数不超过180，正确．故选B．

二、11．x≠1 【分析】由题意，得x-1≠0，解得x≠1．

12．am+bm+cm=m（a+b+c） 

13． 0.881 【分析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，所以这种幼树移植成活率的概率约为0.881．

14． 3 【分析】如答图，∵CD∥AB∥MN，∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，

∴，，即，，解得AB=3（m）．所以路灯的高为3 m．

                            

（第14题答图）

15．505 【分析】1~100的总和为=5 050，一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和为5 050÷10=505．

16．到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（点A，B都在线段PQ的垂直平分线上）  【分析】如答图，∵PA=AQ，PB=QB，∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线段PQ，∴PQ⊥AB．

                                

（第16题答图）

三、17．解：（3-π）0+4sin 45°-+|1-|

=1+4×-2+-1

=1+2-2+-1

=．

18．解：解不等式2x+5>3（x-1），得x<8．

解不等式4x>，得x>1．

∴不等式组的解集为1<x<8．

19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，∴∠E=∠BAE．

∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，

∴∠E=∠DAE，∴DA=DE．

20．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根，

∴=（2m+1）2-4×1×（m2-1）=4m+5>0，

解得m>-．

（2）当m=1时，原方程为x2+3x=0，即x（x+3）=0，

解得x1=0，x2=-3．

21．解：（1）∵点B在直线l2上，∴4=2m，

解得m=2，∴点B的坐标为（2，4）．

设直线l1的表达式为y=kx+b．

由题意，得 解得

∴直线l1的表达式为y=x+3．

（2）由图像可知，n<2．

22．解：小天调查的人数太少．

在小东抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为（2×3+3×11+4）÷152.87，远远偏离了平均人数的3.4，所以他的数据抽样有明显的问题，

小芸抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为（2×2+3×7+4×4+5×2）÷15=3.4，说明小芸抽样数据质量较好．

因此，小芸的抽样调查的数据能较好地反映该小区家庭5月份用气量情况．

23．（1）证明：在△CAD中，∵M，N分别是AC，CD的中点，

∴MN∥AD，MN=AD．

在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM=AC．

∵AC=AD，∴MN=BM．

（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=30°．

由（1）可知，BM=AC=AM=MC，

∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°．

∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，

∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，

∴BN2=BM2+MN2．

由（1）可知，MN=BM=AC=1，∴BN=．

24．解：（1）2011~2015年北京市文化创意产业实现增加值如答图．

                      

（第24题答图）

（2）3 471.7；用近3年的平均增长率估计2016年的增长率．

设2013年到2015年的年平均增长率为x，

则2 406.7（1+x）2=3 072.3，解得x≈13%．

用近3年的平均增长率估计2016年的增长率，

所以2016年的创意产业实现增加值为3 072.3×（1+13%）≈3 471.7（亿元）．

25．（1）证明：∵ED与⊙O相切于点D，∴OD⊥DE．

∵F为弦AC的中点，∴OD⊥AC，

∴AC∥DE．

（2）       解：如答图，作DM⊥OA于点M，连接CD，CO，AD．

（方法一）证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE•DM，只要求出DM即可．

（方法二：证明△ADE的面积等于四边形ACDE的面积的一半）

∵AC∥DE，AE=AO，∴OF=DF．

∵AF⊥DO，∴AD=AO，∴AD=AO=OD，

∴△ADO是等边三角形．

同理可知，△CDO也是等边三角形．

∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DO=a，

∴AO∥CD．

又∵AE=CD，∴四边形ACDE是平行四边形．

易知，DM=a，

∴平行四边形ACDE的面积为a2．

                              

（第25题答图）

26．解：（1）如答图．

                            

（第26题答图）

（2）①2；②该函数有最大值．　

27．解：（1）∵y=mx2-2mx+m-1=m（x-1）2-1，

∴抛物线的顶点坐标为（1，-1）．

（2）①∵m=1，∴抛物线为y=x2-2x．

令y=0，得x=0或x=2．

不妨设A（0，0），B（2，0），

∴线段AB上整点的个数为3．

②如答图，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，

∴点A在（-1，0）与（-2，0）之间[包括（-1，0）]，

当抛物线经过点（-1，0）时，m=，

当抛物线经过点（-2，0）时，m=，

∴m的取值范围为<m≤．

                           

（第27题答图）

28．解：（1）∵AP=AQ，∴∠APQ=∠AQP，∴∠APB=∠AQC．

∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°.

又∵∠BAP=20°，∴∠CAQ=∠BAP=20°，

∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°．

（2）如答图．

∵AP=AQ，∴∠APQ=∠AQP，∴∠APB=∠AQC．

∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，

∴∠BAP=∠CAQ．

（将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…，

请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM）

∵点Q关于直线AC的对称点为M，

∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，

∴∠MAC=∠BAP，

∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，

∴∠PAM=60°．

∵AP=AQ，∴AP=AM，

∴△APM是等边三角形，∴AP=PM．

∴△ABP≌△ACM≌△BCK．

                              

　（第28题答图）

29．解：（1）①∵A（1，0），B（3，1），

且由定义可知，点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，

∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1=2．

②由定义可知，AC是点A，C的“相关矩形”的对角线．

又∵点A，C的“相关矩形”为正方形，

∴直线AC与x轴的夹角为45°．

设直线AC的表达式为y=x+m或y=-x+n．

把（1，0）代入y=x+m，得m=-1，

∴直线AC的表达式为y=x-1．

把（1，0）代入y=-x+n，得n=1，

∴直线AC的表达式为y=-x+1．

综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，则直线AC的表达式为y=x-1或y=-x+1．

（2）设直线MN的表达式为y=kx+b．

∵点M，N的“相关矩形”为正方形，

∴由定义可知，直线MN与x轴的夹角为45°，∴k=±1．

∵点N在⊙O上，

∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“相关矩形”为正方形．

如答图，作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行，其中A，C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B，连接OA，OC．

当k=1时，把M（m，3）代入y=x+b，得b=3-m，

∴直线MN的表达式为y=x+3-m．

∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，

∴OD=OA=2，∴D（0，2）．

同理可知，B（0，-2）．

∴将x=0代入y=x+3-m，得y=3-m．

∴-2≤3-m≤2，∴1≤m≤5.

当k=-1时，把M（m，3）代入y=-x+b，得b=3+m，

∴直线MN的表达式为y=-x+3+m．

同理可知，-2≤3+m≤2，∴-5≤m≤-1．

综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是1≤m≤5或-5≤m≤-1．

                           

　（第29题答图）