2021年高考数学命题角度研究(235)

第九章   平面解析几何

第三节　圆的方程

一、考纲考情：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.

二、核心素养形成：数学运算.

三、考查角度：主要通过圆的方程求法考查数学运算能力.

角度二　与圆有关的轨迹问题

【典例探究】

【典例】　设定点M(－3,4)，动点N在圆x²＋y²＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

解析：设P(x，y)，N(x₀，y₀)，则线段OP的中点坐标为(x/2，y/2)(，线段MN的中点坐标为((x₀－3)/2，(y₀＋4)/2). 因为平行四边形的对角线互相平分，所以x/2＝(x₀－3)/2，y/2＝(y₀＋4)/2，整理得x₀=x＋3，y₀=y－4). 又点N(x＋3，y－4)在圆x²＋y²＝4上，所以(x＋3)²＋(y－4)²＝4. 所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，因为O，M，P三点不共线，所以应除去两点(－9/5, 12/5)和(－12/5, 28/5).

【冲关演练】

1．点P(4，－2)与圆x²＋y²＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为()

A．(x－2)²＋(y＋1)²＝1B．(x－2)²＋(y＋1)²＝4C．(x＋4)²＋(y－2)²＝4 D．(x＋2)²＋(y－1)²＝1答案：A

解析：设中点为A(x，y)，圆上任意一点为B(x′，y′)，由题意得，x′＋4=2x，y′－2=2y ，则，x′=2x－4，y′=2y＋2，故(2x－4)²＋(2y＋2)²＝4，化简得，(x－2)²＋(y＋1)²＝1，故选A.

2．已知圆x²＋y²＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

解析：(1)设AP的中点为M(x₀，y₀)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x₀－2,2y₀)．因为P点在圆x²＋y²＝4上，所以(2x₀－2)²＋(2y₀)²＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)²＋y²＝1.

(2)设PQ的中点为N(x′，y′)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|²＝|ON|²＋|PN|²＝|ON|²＋|BN|²，所以x′²＋y′²＋(x′－1)²＋(y′－1)²＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x²＋y²－x－y－1＝0.

 

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