2022年全国高考数学命题角度专练(六)函数的奇偶性和周期性

第二章函数概念与基本初等函数

第三节函数的奇偶性与周期性

一、考纲考情：结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义.

二、核心素养养成：数学抽象，逻辑推理，数学运算。

三、考查角度：主要通过函数奇偶性、周期性及函数性质的综合应用，考查数学抽象、逻辑推理及数学运算三大核心素养.

注：函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3)单调性、奇偶性与周期性结合.

四、方法总结：

（一）求函数周期的方法

(1)定义法：具体步骤为：对于函数y＝f(x)，如果能够找到一个非

零常数T，

使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函数y＝f(x)的周期；适合非零常数T容易确定的函数.

(2)递推法：采用递推的思路进行，再结合定义确定周期．如：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期；适合含有f(x＋a)与f(x)的关系式；

(3)换元法：通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，则x＝t＋a，则f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期；适合f(bx±a)＝f(bx±c)型关系式

（二）判断函数奇偶性的方法

(1)定义法：确定定义域.若定义域不是关于原点对称的，则函数不具备奇偶性；若定义域关于原点对称，则判断f(x)与f(－x)的关系.

(2)图像法:f(x)为奇函数的充要条件是其图像关于原点对称；f(x)为偶函数的充要条件是其图像关于纵轴对称；

(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D₁，D₂，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：

A、f(x)、g(x)都是偶函数，则f(x)＋g(x)是偶函数；f(x)－g(x)是偶函数；f(x)g(x)是偶函数；f(g(x))偶函数；

B、f(x)、g(x)都是奇函数，则f(x)＋g(x)是奇函数；f(x)－g(x)是奇函数；f(x)g(x)是偶函数；f(g(x))奇函数；

C、f(x)、g(x)都是一奇一偶函数，则f(x)＋g(x)不确定；f(x)－g(x)不确定；f(x)g(x)是奇函数；f(g(x))奇函数；

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．

（三）、对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．