2022年高考数学高三大一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.3二项式定理

发布于 2021-11-30 11:31 ，所属分类：高考数学学习资料大全

2022年高考数学高三大一轮复习

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布

§10.3 二项式定理

§10.3　二项式定理

考试要求　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

1．二项式定理

二项式定理	(a＋b)ⁿ＝Caⁿ＋Caⁿ^－¹b＋…＋Caⁿ^－^kb^k＋…＋Cbⁿ(n∈N^*)
二项展开式的通项	T_k_＋₁＝Caⁿ^－^kb^k，它表示第k＋1项
二项式系数	C(k∈{0,1,2,3，…，n})

2.二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

(2)增减性与最大值

当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．

(3)各二项式系数的和

(a＋b)ⁿ的展开式的各个二项式系数的和等于2ⁿ.

微思考

1．总结(a＋b)ⁿ的展开式的特点．

提示(1)项数为n＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

2．(a＋b)ⁿ的展开式的二项式系数和系数相同吗？

提示　不一定．(a＋b)ⁿ的展开式的通项是Caⁿ^－^kb^k，其二项式系数是C(k∈{0,1,2,3，…，n})，不一定是系数．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)Caⁿ^－^kb^k是(a＋b)ⁿ的展开式的第k项．(×)

(2)(a＋b)ⁿ的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)

(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)

(4)(a＋b)ⁿ的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(√)

题组二　教材改编

2．(x－y)ⁿ的二项展开式中，第m项的系数是()

A．C B．C

C．C D．(－1)^m^－¹C

答案　D

解析　(x－y)ⁿ二项展开式第m项的通项为

T_m＝C(－y)^m^－¹xⁿ^－^m^＋¹，

所以系数为C(－1)^m^－¹.

3．(八省联考)(1＋x)²＋(1＋x)³＋…＋(1＋x)⁹的展开式中x²的系数是()

A．60B．80 C．84 D．120

答案D

解析　(利用公式C＋C＝C)

(1＋x)²＋(1＋x)³＋…＋(1＋x)⁹的展开式中x²的系数为C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＝120.

4．C＋C＋C＋…＋C＝________.

答案　2¹⁰

题组三　易错自纠

5．已知ⁿ(a为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为()

A．1B．±1 C．2 D．±2

答案C

解析　根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2ⁿ＝32，可得n＝5，则二项式的展开式通项为T_k_＋₁＝C()⁵^－^k·^k＝a^kC，令＝0，得k＝3，则其常数项为Ca³，根据题意，有Ca³＝80，可得a＝2.

6．在ⁿ的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为_____．

答案　1

解析　因为所有二项式系数的和是32，所以2ⁿ＝32，解得n＝5.

在⁵中，令x＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)⁵＝1.

题型一多项展开式的特定项

命题点1　二项展开式问题

例1 (1)(2020·北京)在(－2)⁵的展开式中，x²的系数为()

A．－5B．5 C．－10 D．10

答案　C

解析　T_k_＋₁＝C()⁵^－^k(－2)^k＝C·(－2)^k，

令＝2，解得k＝1.

所以x²的系数为C(－2)¹＝－10.

(2)(2019·浙江)在二项式(＋x)⁹的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．

答案　165

解析　该二项展开式的第k＋1项为T_k_＋₁＝C()⁹^－^kx^k，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()⁹＝16；当k＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.

命题点2　两个多项式积的展开式问题

例2 (1)(2020·全国Ⅰ)(x＋y)⁵的展开式中x³y³的系数为()

A．5B．10 C．15 D．20

答案　C

解析　方法一　∵(x＋y)⁵＝(x⁵＋5x⁴y＋10x³y²＋10x²y³＋5xy⁴＋y⁵)，

∴x³y³的系数为10＋5＝15.

方法二　当x＋中取x时，x³y³的系数为C，

当x＋中取时，x³y³的系数为C，

∴x³y³的系数为C＋C＝10＋5＝15.

(2)(2019·全国Ⅲ)(1＋2x²)(1＋x)⁴的展开式中x³的系数为()

A．12B．16 C．20 D．24

答案A

解析　展开式中含x³的项可以由“1与x³”和“2x²与x”的乘积组成，则x³的系数为C＋2C＝4＋8＝12.

命题点3　三项展开式问题

例3 (1)(x²＋x＋y)⁵的展开式中，x⁵y²的系数为()

A．10B．20 C．30 D．60

答案　C

解析　方法一　利用二项展开式的通项公式求解．

(x²＋x＋y)⁵＝[(x²＋x)＋y]⁵，

含y²的项为T₃＝C(x²＋x)³·y².

其中(x²＋x)³中含x⁵的项为Cx⁴·x＝Cx⁵.

所以x⁵y²的系数为CC＝30.故选C.

方法二　利用排列组合知识求解．

(x²＋x＋y)⁵为5个x²＋x＋y之积，其中有两个因式取y，剩余的三个因式中两个取x²，一个取x即可，所以x⁵y²的系数为CCC＝30.故选C.

(2)(2020·合肥检测)⁵的展开式中的常数项为()

A．1B．11 C．－19 D．51

答案　B

解析　⁵＝⁵

展开式的通项为T_k_＋₁＝C⁵^－^k

当k＝5时，常数项为C＝1，

当k＝3时，常数项为－CC＝－20，

当k＝1时，常数项为CC＝30.

综上所述，常数项为1－20＋30＝11.

思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．

(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．

(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．

跟踪训练1 (1)(x＋a)¹⁰的展开式中，x⁷项的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)

答案　

解析　通项为T_k_＋₁＝Cx¹⁰^－^ka^k，令10－k＝7，

∴k＝3，∴x⁷项的系数为Ca³＝15，

∴a³＝，∴a＝.

(2)(x²＋x＋1)(x－1)⁴的展开式中，x³的系数为()

A．－3B．－2 C．1 D．4

答案　B

解析　(x－1)⁴的通项为T_k_＋₁＝Cx⁴^－^k(－1)^k，(x²＋x＋1)(x－1)⁴的展开式中，x³的系数为C(－1)³＋C(－1)²＋C(－1)＝－2，故选B.

(3)(1＋2x－3x²)⁵的展开式中x⁵的系数为________．

答案92

解析　方法一(1＋2x－3x²)⁵＝(1－x)⁵(1＋3x)⁵，所以x⁵的系数为CC3⁵＋C(－1)C3⁴＋C(－1)²C3³＋C(－1)³C3²＋C(－1)⁴C3¹＋C(－1)⁵C3⁰＝92.

方法二(1＋2x－3x²)⁵＝[(1＋2x)－3x²]⁵＝C(1＋2x)⁵＋C(1＋2x)⁴(－3x²)＋C(1＋2x)³(－3x²)²＋…＋C(－3x²)⁵，

所以x⁵的系数为CC2⁵＋CC×2³×(－3)＋CC×2×(－3)²＝92.

题型二二项式系数与各项的系数问题

命题点1　二项式系数和与各项系数和

例4 (1)若二项式ⁿ的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为()

A．－1B．1 C．27 D．－27

答案　A

解析　依题意得2ⁿ＝8，解得n＝3.取x＝1，得该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)³＝－1.

(2)若(2－x)⁷＝a₀＋a₁(1＋x)＋a₂(1＋x)²＋…＋a₇(1＋x)⁷，则a₀＋a₁＋a₂＋…＋a₆的值为()

A．1B．2C．129 D．2188

答案　C

解析　令x＝0，得a₀＋a₁＋a₂＋…＋a₇＝2⁷＝128，

又(2－x)⁷＝[3－(x＋1)]⁷，

则a₇(1＋x)⁷＝C·3⁰·[－(x＋1)]⁷，解得a₇＝－1.

故a₀＋a₁＋a₂＋…＋a₆＝128－a₇＝128＋1＝129.

命题点2　二项式系数的最值问题

例5二项式ⁿ的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()

A．3B．5 C．6 D．7

答案D

解析　根据ⁿ的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴ⁿ的展开式的通项为T_k_＋₁＝C·(x)²⁰^－^k·^k＝()²⁰^－^k·C·，要使x的指数是整数，需k是3的倍数，∴k＝0,3,6,9,12,15,18，∴x的指数是整数的项共有7项．

思维升华 (1)求展开式中各项系数和可用“赋值法”．

(2)二项式系数最大项在中间一项或中间两项取得．

跟踪训练2 (1)(2021·随州调研)在ⁿ的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为()

A．－126B．－70 C．－56 D．－28

答案　C

解析　∵只有第5项的二项式系数最大，

∴n＝8，ⁿ的展开式的通项为

T_k_＋₁＝(－1)^kC(k＝0,1,2，…，8)，

∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(－1)³C＝－56.

(2)ⁿ的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是()

A．6 B.C．4x D.或4x

答案　A

解析　令x＝1，可得ⁿ的展开式中各项系数之和为2ⁿ，即8<2ⁿ<32，解得n＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C()²²＝6.

(3)已知m是常数，若(mx－1)⁵＝a₅x⁵＋a₄x⁴＋a₃x³＋a₂x²＋a₁x＋a₀且a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅＝33，则m＝________.

答案　3

解析　当x＝0时，(－1)⁵＝－1＝a₀.当x＝1时，(m－1)⁵＝a₀＋a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅＝33－1＝32，则m－1＝2，m＝3.

课时精练

1．(2020·邯郸调研)(1－2x)⁶的展开式的第三项为()

A．60B．－120 C．60x² D．－120x²

答案　C

解析　T₃＝C(－2x)²＝60x².

2.⁵的展开式中含x³的项的系数为()

A．80B．－80 C．－40 D．48

答案　B

解析　⁵的展开式的通项为T_k_＋₁＝C(2x)⁵^－^k·^k＝(－1)^k·2⁵^－^k·C·x⁵^－^2k，令5－2k＝3，得k＝1.于是展开式中含x³的项的系数为(－1)·2⁵^－¹·C＝－80.

3．(2020·山西八校联考)已知(1＋x)ⁿ的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()

A．2⁹ B．2¹⁰ C．2¹¹ D．2¹²

答案　A

解析　由题意得C＝C，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2ⁿ^－¹＝2⁹.

4．(2020·肇庆模拟)已知(1－ax)(1＋x)⁵的展开式中x²的系数为5，则a等于()

A．1B．2 C．－1 D．－2

答案　A

解析　(1－ax)(1＋x)⁵＝(1－ax)(1＋5x＋10x²＋10x³＋5x⁴＋x⁵)，其展开式中x²的系数为10－5a＝5，解得a＝1.

5．(x²＋2)⁵的展开式的常数项是()

A．－3B．－2 C．2 D．3

答案D

解析　⁵的展开式通项为T_k_＋₁＝C⁵^－^k(－1)^k＝Cx^2k^－¹⁰(－1)^k，由2k－10＝0得k＝5，所以⁵的展开式中常数项为C(－1)⁵＝－1.由2k－10＝－2得k＝4，所以⁵的展开式中x^－²的系数为C(－1)⁴＝5，所以(x²＋2)⁵的展开式的常数项是2×(－1)＋5＝3.

6．设(1＋x)³＋(1＋x)⁴＋(1＋x)⁵＋…＋(1＋x)⁵⁰＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋a₃x³＋…＋a₅₀x⁵⁰，则a₃的值是()

A．C B．2CC．C D．C

答案D

解析　由题意可得a₃的值是x³的系数，而x³的系数为C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C.

7．(多选)对于二项式ⁿ(n∈N^*)，下列判断正确的有()

A．存在n∈N^*，展开式中有常数项

B．对任意n∈N^*，展开式中没有常数项

C．对任意n∈N^*，展开式中没有x的一次项

D．存在n∈N^*，展开式中有一次项

答案AD

解析　二项式ⁿ的展开式的通项公式为T_k_＋₁＝Cx^4k^－ⁿ，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N^*)和n＝4k－1(k∈N^*)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选AD.

8．(多选)(2020·枣庄模拟)已知(x－1)⁵＝a₀＋a₁(x＋1)＋a₂(x＋1)²＋…＋a₅(x＋1)⁵，则()

A．a₀＝－32 B．a₂＝－80

C．a₃＋4a₄＝0 D．a₀＋a₁＋…＋a₅＝1

答案　ABC

解析　令x＝－1得(－1－1)⁵＝a₀，即a₀＝－32，故A正确．令x＝0得(－1)⁵＝a₀＋a₁＋…＋a₅，即a₀＋a₁＋…＋a₅＝－1，故D不正确．令x＋1＝y，则(x－1)⁵＝a₀＋a₁(x＋1)＋a₂(x＋1)²＋…＋a₅(x＋1)⁵就变为(y－2)⁵＝a₀＋a₁y＋a₂y²＋…＋a₅y⁵，根据二项式定理知，a₂即二项式(y－2)⁵展开式中y²项的系数，T_k_＋₁＝Cy⁵^－^k(－2)^k，故a₂＝C·(－2)³＝－80，B正确．a₄＝C(－2)¹＝－10，a₃＝C(－2)²＝40，故C正确，故选ABC.

9．(2020·全国Ⅲ)⁶的展开式中常数项是________．(用数字作答)

答案　240

解析　⁶的展开式的通项为

T_k_＋₁＝C(x²)⁶^－^k^k＝C2^kx¹²^－^3k，

令12－3k＝0，解得k＝4，

所以常数项为C2⁴＝240.

10．(2020·辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知ⁿ的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x³的系数为________．

答案　240

解析　ⁿ的展开式的通项为T_k_＋₁＝C·(2x)ⁿ^－^k·^k，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，可得C∶C＝2∶5，解得n＝6.所以T_k_＋₁＝(－1)^kC2⁶^－^k·，令6－k＝3，解得k＝2，所以x³的系数为C2⁶^－²(－1)²＝240.

11．已知(2x＋1)⁵(a≠0)，若其展开式中各项的系数和为81，则a＝________，展开式中常数项为________．

答案　－10

解析　在(2x＋1)⁵中，

令x＝1，得(a＋1)·3⁵＝81，解得a＝－，

所以(2x＋1)⁵的展开式中的常数项为

·C·2x＝10.

12．(2020·浙江)二项展开式(1＋2x)⁵＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋a₃x³＋a₄x⁴＋a₅x⁵，则a₄＝________，a₁＋a₃＋a₅＝________.

答案　80122

解析　由题意，得a₄＝C×2⁴＝5×16＝80.

当x＝1时，

(1＋2)⁵＝a₀＋a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅＝3⁵＝243，①

当x＝－1时，

(1－2)⁵＝a₀－a₁＋a₂－a₃＋a₄－a₅＝－1.②

①－②，得2(a₁＋a₃＋a₅)＝243－(－1)＝244，

所以a₁＋a₃＋a₅＝122.

13．如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为()

A．55B．89 C．120 D．144

答案A

解析　由题意，可知a₁＝1，a₂＝1，a₃＝1＋1＝2，a₄＝1＋2＝3，a₅＝2＋3＝5，a₆＝3＋5＝8，a₇＝5＋8＝13，a₈＝8＋13＝21，a₉＝13＋21＝34，a₁₀＝21＋34＝55.

14．(2021·济南模拟)设(1－ax)²⁰²⁰＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋…＋a₂₀₂₀x²⁰²⁰，若a₁＋2a₂＋3a₃＋…＋2020a_{2 020}＝2 020a(a≠0)，则实数a＝________.

答案　2

解析　已知(1－ax)^{2 020}＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋…＋a₂₀₂₀x^{2 020}，两边同时对x求导，

得2 020(1－ax)^{2 019}(－a)＝a₁＋2a₂x＋3a₃x²＋…＋2020a_{2 020}x^{2 019}，

令x＝1得，－2 020a(1－a)²⁰¹⁹＝a₁＋2a₂＋3a₃＋…＋2 020a₂₀₂₀＝2 020a，

又a≠0，所以(1－a)²⁰¹⁹＝－1，即1－a＝－1，故a＝2.

15．若多项式(2x＋3y)ⁿ的展开式中仅第5项的二项式系数最大，则多项式ⁿ^－⁴的展开式中x²的系数为()

A．－304B．304 C．－208 D．208

答案　A

解析　多项式(2x＋3y)ⁿ的展开式中仅第5项的二项式系数最大，故展开式有9项，所以n＝8，多项式⁴＝⁴的展开式的通项为T_r_＋₁＝C(－4)⁴^－^r·^r(0≤r≤4，且r∈N).^r的展开式的通项T_k_＋₁＝C(x²)^r^－^k·^k＝Cx^2r^－^4k(0≤k≤r，且k∈N，r∈N)．令2r－4k＝2，即r＝2k＋1，所以k＝0，r＝1；k＝1，r＝3，所以展开式中x²的系数为C·(－4)³＋C·C·(－4)＝－256－48＝－304.

16．设a，b，m为整数(m>0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm)．若a＝C＋C·2＋C·2²＋…＋C·2²⁰，a≡b(mod10)，则b的值可以是()

A．2 018 B．2019 C．2020 D．2021

答案　D

解析　a＝C＋C·2＋C·2²＋…＋C·2²⁰＝(1＋2)²⁰＝3²⁰＝(80＋1)⁵，它被10除所得余数为1，又a≡b(mod10)，所以b的值可以是2021.

去年发了一年的资料就不再同步更新链接了，公号历史记录里都能看，QQ群里也都能下载，不想回翻历史记录也没关系，年年有新题，年年有新卷，接下来会同步更新新版内容的。下面的链接是历史推送里的经典资料，和一些值得一看的内容，以及同步更新的。

在gongzhong号对话页面菜单栏里找到这些内容：

下面的专题可以直接点击：

【真题专区】2011-2021高考真题240套（解析全）

【新高一】新高一数学课件PPT及解析（更新中）

【新高二】新高二数学课件PPT及解析（更新中）

【2022高三】2022高三一轮二轮（更新中）

【专题二区】数不清的数学专题（同步更新中）

【试卷三区】高考真题、笔者所在地最新模卷

收藏及下载说明

本号所有内容的PPT/word版本已经打包发到QQ群：1059198154（学习沟通群，付费进群，群内资料持续更新(包括但不限于每日推送内容，永久免费下载，本gongzhong号所发布的全部历史内容均已经上传），进群请点击左下方：，或长按下方ErWeiMa加好友。（注：部分内容因老师编辑时用的并非office软件，但可以在群里提供高清PDF版供下载.）

佛曰：经不可轻传，亦不可以空取，本号建立的初衷不过是能汇集一群热爱数学，钻研数学的志同道合的朋友，知识无价朋友珍贵，入群付费这个完全只是一个小小的的门槛而已。我们欢迎每一位真心坦诚的朋友。