这年头不懂点数学,可能连杂耍都玩不好了

发布于 2021-08-27 17:30 ，所属分类：数学资料学习库

想必大家都看过杂耍，

大概也试图玩过。

小编我也玩过......

不知道祸害了多少苹果橘子.......

今天就来学习一下，怎么科学地杂耍。

在著名的（大概...）欧洲杂耍大会（European Juggling Convention），有一项神奇的运动——杂耍斗（combat juggling）。

杂耍斗是一种两人对战类的体育运动。比赛规则非常简单。每局比赛开始时，两名选手各自抛耍 3 个杂耍棒。任何一方都可以故意上前干扰另一方（但只能针对对方手中的或者空中的杂耍棒，不能针对对方的手臂和身体）。谁站到最后，谁就赢得该局。先赢 5 局者获得比赛的胜利。

典型的一局比赛大致就像下面这样。

不知道有没有人仔细看过视频后，发现了一个有趣的细节：其中一人虽然抛耍起了 4 个杂耍棒，但是他的动作好赖皮呀！用哪只手抛出的杂耍棒，就用哪只手接住，任何一个杂耍棒都没有在两手之间交替。这恐怕不能叫做杂耍吧！这是不是要算违规呀？

还真不是。两只手各自独立地抛耍 2 个物体，确实是一种基本的杂耍模式。让我们来看三个演示动画，它们分别对应抛耍 3 个物体、抛耍 4 个物体和抛耍 5 个物体时最基本的杂耍模式：

按照大多数人的理解，在任何一种杂耍模式中，左右两只手一定是交替地、有节拍地不断抛耍小球。也就是说，右手接住某个小球并立即把它重新抛出，片刻后就该轮到左手接住某个小球并把它抛出，再过相同的时间后就又该轮到右手接住某个小球并把它抛出……今后，我们把某只手接住并抛出某个小球叫做一次“接抛”。接抛动作将会以右手、左手、右手、左手的顺序轮流完成。我们假设每次接抛动作都是瞬间完成的，小球停留在手中的时间忽略不计。接下来，我们还会把相邻两次接抛之间的时间叫做“一拍”。我们假设杂耍过程中，每一拍的时长都是相同的。

上面这些杂耍模式之所以是“最基本的杂耍模式”，其实就是因为，每次接抛动作都是完全相同的。这意味着，每个小球每次都被抛到了相同的高度，都会在空中停留相同的拍数。如果每个小球都在空中停留 3 拍，结果会怎样呢？让我们画个图来分析一下：

图中，横坐标表示时间，纵坐标表示高度，弧线则表示随着时间的流逝，小球们的高度是如何变化的。每个小球都在空中停留了 3 拍，表现在图上就是，每条弧线都横跨了 3 个区间。由图可知，这里面实际上一共有 3 个小球（我们用 3 种不同的线条分别表示出了它们的轨迹）。此时，每个小球都会交替地来到左手和右手上。

类似地，如果每个小球都在空中停留 5 拍，我们就需要 5 个小球，才能让双手不会闲下来。可以看到，在这种情况下，每个小球也都会交替地来到左手和右手上。

然而，如果每个小球都在空中停留 4 拍，情况就不一样了：对于任意一个固定的小球来说，不管它被哪只手扔了出去， 4 拍之后它将回到同一只手中。可以看到，此时对应着小球数为 4 的情况，也就是上面三个动画中的中间那个动画。

不妨用 n 来表示杂耍模式中的小球数。正因为在这种最基本的杂耍模式中， n 的奇偶性会导致如此大的区别，所以当 n 为奇数和 n 为偶数时，这种杂耍模式的俗名都是不一样的。当 n 为奇数时，所得的杂耍模式叫做“瀑泻”（cascade）；当 n 为偶数时，所得的杂耍模式叫做“喷泉”（fountain）。

难道当 n = 4 时，就没有什么左右手能互相传递小球的杂耍模式吗？倒也有，比方说用一种叫做“倾盆”（shower）的杂耍模式就行了。事实上，倾盆可以适用于一切的 n ，并且不管 n 是奇数还是偶数，每个小球的位置都会在左右手之间切换。不过，这种模式的问题是——它太水了，还是不像杂耍。让我们还是先来看看 n = 3, 4, 5 时倾盆的演示动画吧：

也就是说，左手接住并水平抛出某个小球，右手立即接到该球并把它抛到更高的地方；然后左手接住并水平抛出下一个小球，右手立即接到该球并把它抛到更高的地方……倾盆也算是非常基本的一种杂耍模式了，或许你自己没事儿时也偷偷尝试过。搜索与“杂耍”有关的插图插画，画面内容基本上都是一个人把一堆小球从一只手扔到另一只手，所有小球在空中大致排成一个半圆。这表现的其实就是倾盆这种杂耍模式。不过，和瀑泻比起来，倾盆的效果确实差了一些，少了点“左右开弓”的感觉。

说了半天，当 n = 4 时，究竟有没有什么看起来非常爽，观赏性非常强的玩法呢？有。来看看下面三种 n = 4 时的杂耍模式：

看了上面这三个动画，你有何感想？

我估计，你的第一反应会是：“真牛逼，没想到这背后的水这么深！看着就觉得里面有好多数学原理！”接下来，你就该观察各种细节，或者该冒出各种怪异的想法了：

“****，这些动画你丫都是拿什么软件做的呀？”
“你这写的东西今后肯定是要出书的吧？哼哼，我看到时候这篇文章的动画你怎么处理！”
“你说这些新的杂耍模式都是谁想出来的，都是怎么想出来的呀？”
“这三种杂耍模式真的是三种不同的杂耍模式吗？让我看看啊……哦，是，好像确实是不同的。”
“这三种杂耍模式的循环长度似乎是不一样的，最左边那个的循环长度明显要短得多。”
“其实中间那个杂耍模式中，右手还是出现了自己扔给自己的情况。哦，左手也出现了这种情况。咦，等等，好像这个杂耍模式中，左右手的动作是完全对称的！”
“最右边那个图我好像看出些名堂来了。它就是一个抛得更高的 3 球瀑泻，插进去一个简单的水平抛掷。”
……

好吧，我先专门说一下这些动画是怎么变出来的吧，不然大家肯定又会问。以前每篇文章的图片和动画都是我用 Mathematica 做的，但这篇文章还真不是。这篇文章中所有杂耍模式的演示动画都是用一个叫做 Juggling Lab 的开源软件生成的（然后用 ImageMagick 调了一下颜色和线条的粗细）。这个软件在杂耍界里非常有名，它可以生成各种杂耍模式的 GIF 演示动画，极大地方便了人们的交流。

这篇文章里有这么多动画，以后真的出书时该怎么办呢？那还有啥办法，到时候出书时只能不用这篇文章了呗！所以，大家一定要体会到科技的进步。现在，向其他人展示某种杂耍模式，只需要发个 GIF 动画就行了；但在只有纸媒的时代，这将会变得非常非常困难。《杂耍者世界》（Juggler’s World）是杂耍界里颇有影响力的杂志。杂志读者曾经问道：为什么不在杂志上教大家一些新的杂耍技巧呢？于是，在 1985 年第 2 期的杂志中，编辑们用一组照片辅以数字和箭头，详细讲解了一个抛耍 4 球的新玩法。自然，效果非常糟糕，至少我看了半天都没看懂。

就好像跳水中“5253B”表示“向后翻腾两周半转体一周半屈体”一样，要是我们有一套记号，或者说一种“语法”，可以简单有效地表示出各种杂耍模式就好了。人们不但可以借助它进行交流，或许还能通过摆弄这些符号，寻找新的杂耍模式。杂耍模式的很多特征，或许也会反映在这些符号当中。

刚才对瀑泻和喷泉的分析，让我们自然地想到了这样一种方案：依次记下每次扔出的球会在空中停留几拍，直到完整地记下一个循环节为止。刚才我们展示了三种非常高级的 4 球玩法，让我们仔细分析一下中间那种玩法。不妨从右手扔出最高的那一次球开始算起：这次扔出的球（由右手扔出）要过 5 下才会被接住，我们就用数字 5 来标记；下次扔出的球（由左手扔出）要过 3 下才会被接住，我们就用数字 3 来标记；第三次扔出的球（由右手扔出）要过 4 下才会被接住，我们就用数字 4 来标记……如果把小球的轨迹连同这些数字标记一并画出，大概就是这样：

杂耍模式能永远持续下去，肯定是因为它在不停地循环。在这个例子中，我们记下的数字形成了 534 循环。我们就用 534 来表示这种杂耍模式。这就是杂耍界最通用的杂耍模式记号——“位换记号”（siteswap）。

位换记号最早是由谁想出来的，现在已经很难考证了。目前一般认为，位换记号起源于 1985 年左右，它的发明和传播，至少与以下三组人马有着密切的关系：来自加利福尼亚州圣克鲁斯的 Paul Klimek ，来自加利福尼亚理工学院的 Bruce Tiemann 和 Bengt Magnusson ，以及来自英国剑桥的 Michael Day 、Colin Wright 和 Adam Chalcraft 。

对于杂耍表演者来说，位换记号是非常直观的，因为它记录的本质上就是杂耍时的一个个接抛动作：数字 1 就表示，我应该把刚接到的球近乎水平地扔向另一只手，让另一只手在下一拍立即接到它；数字 2 就表示，我应该把刚接到的球竖直向上扔一点，使得在另一只手完成动作后，正好轮到这只手重新把它接住（实际表演时，人们通常会选择直接把这个小球握在手中停留 2 拍，因为在此期间反正这只手也不需要干别的）；数字 3 就表示，我应该把刚接到的球扔得更高一些，扔出一个抛物线，使得 3 拍之后另一只手正好能接住它……总之，数字越大，就意味着我应该把小球越得越高，并且偶数意味着应该竖直向上扔，奇数意味着应该往另一只手的方向扔。

事实上，位换记号只告诉了你扔出的球需要多久之后回到手中，而并没有告诉你这个球具体应该怎么扔出去。你可以从胯下扔上来，从身体背后扔过来，扔头上顶一会儿，扔地上反弹回来……只要它能在正确的时候被接住就行了。

注意，一个杂耍模式的位换记号往往不是唯一的。我们可以对位换记号中的数字进行“循环移位”（cyclic shift），例如把 534 变为 345 和 453 ，它们刻画的显然是同一个杂耍模式。此时，人们通常会选择使用字典序最大的那个记法（也就是说，使用第一位数字最大的记法，如果有多个第一位数字最大的，则使用它们之中第二位数字最大的记法，等等）。另外，人们通常假设，位换记号中不会有大于 9 的数字出现，因为把小球扔这么高是不太现实的。这样的话，每个杂耍模式的位换记号都是一串唯一确定并且没有歧义的数字了。

我们刚才介绍的那些杂耍模式，用位换记号都该怎么记呢？3 球瀑泻、 4 球喷泉、 5 球瀑泻的位换记号分别是 3 、 4 、 5 。果然，它们是最基本的杂耍模式。3 球倾盆、 4 球倾盆、 5 球倾盆的位换记号分别是 51 、 71 、 91 。这也很容易看出来。

最后我们展示了三种 4 球玩法，其位换记号从左至右依次为 53 、 534 、 5551 。之前观察到的现象和规律，都可以从这几个位换记号中读出来。左边那个的循环长度确实是最短的，因为它的位换记号的长度就是最短的。整个杂耍模式其实就是两个动作不断重复，右手做个 5 ，左手做个 3 ，右手再做个 5 ，左手再做个 3 。中间那个的位换记号里有偶数，因此它里面就会出现“自己扔给自己”的情况。同时，它的动作是左右对称的，因为它的位换记号的长度为奇数。第一轮的 534 分别对应右、左、右，第二轮的 534 就分别对应左、右、左了。右边那个本质上就是“一个抛得更高的 3 球瀑泻，插进去一个简单的水平抛掷”，它的动作要领显然就是三个相同的大动作加上一个小动作，这不正是 5551 的意思吗？

不知道大家有没有发现， 53 、 534 、 5551 这几串数字有一个共同特征：数字串里所有数字的平均数都是 4 。事实上，这个规律对于其他几个杂耍模式的位换记号也都成立：位换记号中所有数字的平均数，等于这个杂耍模式中小球的个数。这就是位换记号理论中最著名的一个定理——平均数定理（the average theorem）。这个定理为什么是对的呢？我们介绍一种非常直观的证明方法。

每个小球每次在空中停留的时间，完全是我的手在抛出它时给予它的。这就好比每次抛出小球都是在给小球加油一样。如果位换记号里有一个数字 4，就表示此时抛出小球的动作相当于给小球加了 4 个单位的油，小球也就会在空中停留 4 个单位的时间，直到最后没油了落回手中，继续接受下一次加油。每个循环刚开始的时候，有些空中的小球消耗的还是上一个循环里加的油；每个循环快结束时，给小球加的油也有一部分会放到下个循环去用。但是，既然这些循环能够一个接一个地无限持续下去，既不会出现剩余的油越积越多的情况，也不会出现油慢慢就不够了的情况，这就说明每个循环里给小球加的油，一定都恰好等于这个循环里所有小球在空中停留的时间之和。

假设某个杂耍模式有 n 个小球，其位换记号的长度为 l 。在每个循环里，我的手一共给小球加了多少油呢？显然，这等于位换记号里的所有数字之和。在每个循环里，所有小球在空中总共停留了多少时间呢？由于我们有 n 个小球，每个小球都在空中停留了 l 个单位的时间，所以答案就是 n · l 。于是我们得到，位换记号里的所有数字之和等于 n · l ，即 n 等于位换记号里的所有数字之和除以 l 。这正是平均数定理的内容。

平均数定理有一个重要的推论：瞎写一串数字，不见得是一个合法的位换记号。比方说，如果所有数字的平均数根本就不是整数，那么这串数字就必然不是一个合法的位换记号了。然而，麻烦的是，即使所有数字的平均数是个整数，这串数字也不见得是一个合法的位换记号。比方说， 6114 这串数字满足平均数条件，但它就不是一个合法的位换记号。在 61146114… 中，第一次抛出的小球和第六次抛出的小球会“撞车”，使得杂耍模式无法持续下去。

所以，位换记号可以很好地描述杂耍模式，但要想利用位换记号创造新的杂耍模式，还得想想办法才行。

不妨让我们换个思路：能否对已有的位换记号进行改造，从而得出新的杂耍模式呢？考虑之前提过的 534 模式。现在，如果把 534 改成 633 ，会出现什么有意思的结果？你会发现，整个杂耍模式的循环节长度仍然是 3 ，并且在每一个循环节中，第一次抛出的小球和第三次抛出的小球都会交换落点。所以，原来的位换记号不会出现撞车的情况，新的位换记号也不会出现撞车的情况。

我们预言：633 是一种新的合法的位换记号，对应于一种全新的杂耍模式！事实上确实如此：

一般地，如果位换记号中有 a 、 b 两个数字，它们相隔 d 拍的距离，那么把 a 和 b 分别换成什么数字，就能交换它们的落点呢？看看下图，你就知道了：我们应该把 a 换成 b + d ，把 b 换成 a – d 。

在数字串中，按此规律修改某两个数字的操作就叫做一次“位换”（site swap）。对合法的位换记号进行位换操作，得到的仍然是合法的位换记号。其实，“位换记号”这个词就是这么来的——它是一种支持位换操作的记号。注意，每次位换既不会改变位换记号的长度，也不会改变位换记号中的所有数字之和。因此，位换操作不会改变所有数字的平均数。这说明，用位换操作得到的新杂耍模式，与原杂耍模式的小球数是相同的。

位换操作很强大。让我们再给大家展示几个例子。如果你愿意，你甚至可以对 3 球瀑泻进行位换操作。3 球瀑泻的位换记号是 3 ，里面就只有一个数字，这可怎么做位换呢？没关系，多补几个循环节就行了。比方说，把 3 先扩写成 333 ，然后对第一个数字和第三个数字进行位换，于是得到 531 。那么， 531 就是一个新的杂耍模式，如下图所示。

我们还可以对位换之后的结果再做位换。比方说，对 531 的第一个和第二个数字进行位换，于是得到 441 。这就又是一种新的杂耍模式！

我们刚才是用 3 → 333 → 531 → 441 的办法生成的 441 。其实，生成 441 还有很多别的路子。比方说，还是先把 3 扩写成 333 ；接下来，对 333 的第一位和第二位进行位换，于是得到 423 ；循环移位，可以把 423 变成 342 ；再对 342 的第一位和第三位进行位换，就可以得到 441 了。当然，变出 441 并不需要那么复杂，其实 423 能直接变成 441 。这里我们只是想告诉大家，位换操作还可以和循环移位配合着使用。

我们从几个最基本的杂耍模式，说到了位换记号与平均数定理，说到了如何“创造”新的杂耍模式。但是，刚才的一切仅仅是假设，左右两只手是在交替地接抛一个又一个的小球。如果两只手是同步运作的呢？或者，如果每次可以接抛不止一个小球呢？或者，如果我们有两个杂耍者，他们互相之间还能把小球扔给对方呢？我们又应该用什么记号来表示它们呢？刚才提到的结论能否继续扩展到这些情况呢？感兴趣的朋友不妨看看 Burkard Polster 的 The Mathematics of Juggling 一书。这篇文章中的内容主要也都是从这本书里来的。