中考数学 | 二元一次方程组8种典型例题详解,一次解决应用题

一、实际问题与二元一次方程组的思路

1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。

一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：

① 方程两边表示的是同类量；

② 同类量的单位要统一；

③ 方程两边的数要相等。

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：

用两个字母表示问题中的两个未知数；

列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；

解：解方程组，求出未知数的值；

答：写出答案。

3.要点诠释

（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。

二、八大典型例题详解

1.和差倍数问题

知识梳理和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。

典型例题：

【思路点拨】由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。

变式拓展：

【思路点拨】由甲组学生人数是乙组的3倍可以得到第一个等量关系式x=3y，由乙组的学生人数比甲组的3倍少40人可以得到第二个等量关系式3x-y=40，组成方程组求解即可。

2.产品配套问题 

知识梳理总人数等于生产各个产品的人数之和；各个产品数量之间的比例符合整体要求。

典型例题：

【思路点拨】本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。

变式拓展：

【思路点拨】根据共有170名学生可得出第一个等量关系x+y=170，根据每个树坑对应一棵树可得第二个等量关系3x=7y，组成方程组求解即可。

3.工作量问题 

知识梳理我们在解决工程问题时通常把工作总量看成1；

工作量＝工作效率×工作时间；

总工作量=每个个体工作量之和；

工作效率=工作量÷工作时间(即单位时间的工作量)；

工作效率=1÷完成工作的总时间。

典型例题：

【思路点拨】

变式拓展：

【思路点拨】

4.利润问题 

知识梳理商品利润＝商品售价－商品进价；利润率=利润÷进价×100%。

典型例题：

【思路点拨】本题有两个未知数，即商品本钱和预售总价，也有两个明显的等量关系，即两种打折出售的获利情况，根据售价-成本-存货费用=利润，可以列出方程组求解即可。

变式拓展：

【思路点拨】本题易知第一个等量关系为甲乙两种商品共50件，则有x+y=50。

根据甲乙商品的进价和利润率可知甲商品每件利润为35×0.2=7元，乙商品每件利润为20×0.15=3元，再由所获总利润得到第二个等量关系，组成方程组求解即可。

5.行程问题 

知识梳理路程=速度×时间；

相遇问题：快行距＋慢行距＝原距追及问题：

快行距－慢行距＝原距航行问题：

顺水(风)速度＝静水(风)速度＋水流(风)速度逆水(风)速度＝静水(风)速度－水流(风)速度

典型例题：

【思路点拨】这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解，要明确快车与慢车的路程与A、B两地的距离之间的关系，相向而行两车相遇时：快车路程+慢车路程=A、B两地距离；同向而行两车相遇时：快车路程-慢车路程=A、B两地距离。