2021年高考数学冲刺对点集训(17B)

第四章 三角函数、三角形

第二节　同角三角函数基本关系式与诱导公式

一、考纲考情：1.理解同角三角函数的基本关系式：sin²x＋cos²x＝1，sinx/cosx＝tan x.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π/2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.

二、核心素养形成：逻辑推理，数学运算.

三、考查角度：主要通过诱导公式与同角三角函数关系式的应用考查数学运算和逻辑推理能力.

B组——能力提分练

1．向量a＝(1/3，tan α)，b＝(cos α，1)，且a∥b，则cos(π/2＋α)＝()

A．－1/3B.1/3C．－2^1/2/3D．－2×2^1/2/3答案：A

解析：∵a＝(1/3，tan α)，b＝(cos α，1)，且a∥b，∴1/3×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝1/3，∴cos(π/2＋α)＝－sin α＝－1/3.

2．已知sin(α＋π/3)＝12/13，则cos(π/6－α)＝()

A.5/13B.12/13C．－5/13D．－12/13答案：B

解析：因为sin(α＋π/3)＝12/13，所以cos(π/6－α)＝sin[π/2－(π/6－α)]＝sin(α＋π/3)＝12/13.

3．已知tan θ＝2，则(sin θ＋cos θ)/sin θ＋sin²θ的值为()

A.19/5B.16/5C.23/10D.17/10答案：C

解析：(sin θ＋cos θ)/sin θ＋sin²θ＝(sin θ＋cos θ)/sin θ＋sin²θ/(sin²θ＋cos ²θ)＝(tan θ＋1)/tan θ＋tan²θ/(tan²θ+1)，将tan θ＝2代入，得原式＝23/10.

4．已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x的方程2x²＋(3^1/2－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，则sin θ－cos θ＝()

A.(1－3^1/2)/2B.(1+3^1/2)/2C.3^1/2D．－3^1/2答案：B

解析：∵sin θ，cos θ是方程2x²＋(3^1/2－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，∴sin θ＋cos θ＝(1－3^1/2)/2，sin θ·cos θ＝m/2，可得(sin θ＋cos θ)²＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m＝(2－3^1/2)/2，解得m＝－－3^1/2/2.∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，∵(sin θ－cos θ)²＝1－2sin θ·cos θ＝1－m＝1＋3^1/2/2，∴sin θ－cos θ＝(1+3^1/2)/2.

5．若tan(π/2－θ)＝4cos(2π－θ)，|θ|<π/2，则tan 2θ＝________.答案：15^1/2/7

解析：∵tan(π/2－θ)＝4cos(2π－θ)，∴cos θ/sin θ＝4cos θ.又|θ|<π/2，∴sin θ＝1/4，∴0<θ<π/2，cos θ＝15^1/2/7，

tan θ＝sin θ/cos θ＝1/15^1/2，从而tan 2θ＝2tan θ/(1－tan²θ)＝15^1/2/7.

6．已知sin α＝1/3，0<α<π，则sinα/2＋cosα/2＝________.答案：2×3^1/2/3

解析：(sinα/2＋cosα/2)²＝1＋sin α＝4/3，又0<α<π，∴sinα/2＋cosα/2>0，∴sinα/2＋cosα/2＝2×3^1/2/3.

7．已知角α的终边经过点P(m,2×2^1/2)，sin α＝2×2^1/2/3且α为第二象限角．

(1)求m的值；(2)若tan β＝2^1/2，求[sinαcosβ＋3sin(π/2＋α)sinβ]/[cos(π＋α)cos(－β)－3sinαsinβ]的值．

解析：(1)由三角函数的定义可知sin α＝2×2^1/2/3＝2×2^1/2/(m²+1)^1/2，解得m＝±1，∵α为第二象限角，∴m＝－1.

(2)由(1)知tan α＝－2×2^1/2，∴[sinαcosβ＋3sin(π/2＋α)sinβ]/[cos(π＋α)cos(－β)－3sinαsinβ]＝－(sinαcosβ＋3cosαsinβ]/(cosαcosβ＋3sinαsinβ)＝－(tan α＋3tan β)/(1＋3tan αtan β)＝－(－2×2^1/2+3×2^1/2)/(1－2×2^1/2×3×2^1/2)＝2^1/2/11.