谢惠民数学分析习题课讲义参考答案

发布于 2021-08-27 17:40 ，所属分类：数学资料学习库

谢惠民习题课讲义

2.1数列极限的基本概念

2.1.1思考题

  1. 数列收敛有很多等价定义. 例如:

    • 数列 收敛于 , 成立 ;
    • 数列 收敛于 , 成立 .

      注:有些像级数的 Weierstrass-M 判别法, 事实上也可以用 Cauchy 收敛准则给出一个和 Weierstrass-M 判别法类似的证明. 本条是所有二分法/三分法证明的基础.

    • 数列 收敛于 , 成立 . 其中 是一个与 和 无关的正常数.
      试证明以上定义与数列收敛等价.
  • 取 . 显然.
  • 取 . 由于 , 故存在 , 当 时, . 选定 , 使用定义, 存在, , 有
  • 取 . 取 , 则 ,使得
  1. 在数列收敛的定义中, 是否是 的函数?

否. 对于任意的 , 存在一个 , 使得当 时都有 , 而 都可以是符合定义的 , 即每一个 都可以对应无穷多个 , 故不是.

  1. 判断: 若 收敛, 则有 和 .

. 对于任意给定的 , 存在 , 当 时有 , 从而 , 于是对于 ,


  1. 设收敛数列
    的数列, 由于
即 , 但显然 并不单调.


  1. . 判断: 非负数列的极限是非负数, 正数列的极限是整数.

非负数列的极限是非负数. 反证法. 假设非负数列 的极限为 , 则存在 , 当 时有

即当 时有
与 非负矛盾.

正数列的极限不一定为正数, 如取 , 其极限为 .



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