每日一题373:n元二次函数最小值计算的微积分与矩阵求解的三种思路与方法

练习373：设 为 阶正定矩阵， 和 都是 维列向量， 为常数。证明： 元二次函数

的最小值为 .

练习373：设 为 阶正定矩阵， 和 都是 维列向量， 为常数。证明： 元二次函数

的最小值为 .

【参考解答】：【思路一】 注意到 及 ，把 元二次函数改写成

因为 为正定矩阵, 所以

当且仅当 时取等号，故当 时， 的最小值为 .

【思路二】 设矩阵 ， ，则二次函数

先求二次函数的稳定点，由方程组

等价于 . 求出 的唯一稳定点，即 的唯一解 . 再由

得：当 时， 的最小值为 .

【注1】：如果只证明它是极小值，可由 立得 的海塞（Hesse）矩阵为 正定，故二次函数 在点 取到唯一极小值.

【注2】：以上思路由湖北工程学院数学与统计学院胡老师(E-mail: hfg1964@sina.com)分享.

【思路三】 取 ，则

即 在 处取得极值 . 此外，由于 是正定矩阵，即存在 阶正交矩阵 使得

其中 是 的 个特征值，且均为正值. 下面证明

具体如下:

记 ，，则由上式得

即对任意的 维列向量，都有