四年级奥数知识讲座(上) 等差数列求和

四年级奥数知识讲座（上） 等差数列求和

四年级奥数知识讲座（上）第四讲 等差数列及其应用（续1）

四年级奥数知识讲座（上） 等差数列求和

若a1 小于a2，则公差为d的等差数列a1,a2,a3…an可以写为

a1,a1+d,a1+d×2，…，a1+d×（n-1）.

所以，容易知道：a1+an=a2+an-1=a3+an-2

=a4+an-3=…=an-1+a2=an+a1.

　　设 Sn=a1+a2+a3+…+an

　　则 Sn=an+an-1+an-2+…+a1

　　两式相加可得：

2×Sn=（a1+an）+(a2+an-1)+…+(an+a1)

　　即：2×Sn=n×（a1+an）,所以

例5 计算 1+5+9+13+17+…+1993.

　　当a1；大于a2。时，同样也可以得到上面的公式.这个公式就是等差数列的前n项和的公式.

　　解：因为1，5，9，13，17，…，1993是一个等差数列，且al=1，d=4，an=1993.

　　所以，n=（an－a1）÷d+1=499.

　　所以，1+5+9+13+17+…+1993

=（1+1993）×499÷2

=997×499

=497503.

　　题目做完以后，我们再来分析一下，本题中的等差数列有499项，中间一项即第250项的值是997，而和恰等于997×499.其实，这并不是偶然的现象，关于中项有如下定理：

这个定理称为中项定理.

例6 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？

解：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，… 容易知道，这是一个等差数列.

　　方法1：

a1=2， d=4， an=2106，

　　贝n=（an-a1）÷d+1=527

　　这堆砖共有则中间一项为 a264=a1+（264-1）×4=1054.

　　方法2：（a1+an）×n÷2=（2+2106）×527÷2=555458（块）.

　　则中间一项为（a1+an）÷2=1054

a1=2， d=4， an=2106，

　　这堆砖共有 1054×527=555458（块）.

n=（an-a1）÷d+1=527

例7 求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.

　　解：根据题意可列出算式：

　　（2+4+6+8+…+2000）-（1+3+5+…+1999）

　　解法1：可以看出，2，4，6，…，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，…，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：

　　原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2

=1000.

　　解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即

　　原式=1000×1=1000.

例8连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？

　　分析与解答

　　方法1：要想求这九个连续自然数之和，可以先求出这九个连续自然数中最小的一个.即条件中的九个连续自然数的末项.

　　因为，条件中九个连续自然数的和为54，所以，这九个自然数的中间数为54÷9=6，则末项为6+4=10.因此，所求的九个连续自然数之和为（10+18）×9÷2=126.

　　方法2：考察两组自然数之间的关系可以发现：后一组自然数的每一项比前一组自然数的对应项大8，因此，后一组自然数的和应为54+8×9=126.

　　在方法1中，可以用另一种方法来求末项，根据求和公式Sn=（a1+an）×n÷2，则a1+a9=54×2÷9.又因为a1=a9-8，所以代入后也可求出a9=10.

例9 100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？

　　分析与解答

　　方法1：要求和，我们可以先把这50个数算出来.

100个连续自然数构成等差数列，且和为8450，则：

　　首项+末项=8450×2÷100=169，又因为末项比首项大99，所以，首项=（169-99）÷2=35.因此，剩下的50个数为：36，38，40，42，44，46…134.这些数构成等差数列，和为（36+134）×50÷2=4250.

　　方法2：我们考虑这100个自然数分成的两个数列，这两个数列有相同的公差，相同的项数，且剩下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大1，因此，剩下的数的总和比取走的数的总和大50，又因为它们相加的和为8450.所以，剩下的数的总和为（8450+50）÷2=4250.