凸函数的定义、性质、考研竞赛试题+2021年全国大学生数学竞赛（数学类B）试题六新解

本文内容目录

• 凸函数的基本定义
• 凸函数的等价定义之一（下期介绍其它等价定义）
• 凸函数的连续性质
• 2021年全国大学生数学竞赛题目六的新解（网站参考答案似乎不合理）

凸函数的基本定义

基本定义： 设是定义在(可以是有限或者无限的开区间、闭区间、半开半闭区间)上的函数:

• 如果则对任意, 有不等式

称是区间上的凸函数（基于其凸面向下也叫下凸函数）。

• 如果对任意, 有不等式

称是区间上的凹函数（上凸函数）。

凸函数的等价定义

定理1（等价定义）：设在区间上有定义，则

• (1)是 上凸函数的充分必要条件是对于任意且成立

• (2)是 上凸函数的充分必要条件是对于任意且成立

(1)的证明：

• .对于任意且，取

则

化为

化为

• .对于任意, , 我们证明

当时，显然成立

当或者1是，上面不等式显然成立。当且时， 不妨设且,考虑三点

则

使用条件

得到

化为

• (2)的证明： 同(1)的证明，略。【证明完毕】

凸函数的连续性

定理2（性质）：区间上的凸函数在区间的任意内点的左右导数存在且连续。

证明： 对于任意 且为的内点，下面证明在点左右导数存在且连续。

• 证明函数

单调增加。

由于 是的内点，可以任意取满足。应用凸函数等价定义(1)得

令, , 则

则是单调增加函数。

取点且, 考虑三点

根据等价定义(2)得到

得到

令则

所以在的右边有下界。根据单调有界必有极限定理得到

存在，则在右可导。因此在右连续。

同理可以证明在点左可导，从而在左连续。因此在连续。【证明完毕】

2021年全国大学生数学竞赛（数学类B）试题六新解

题目（20分）：设

证明：

• 函数在为严格凸函数。

• 对任意,存在满足

称内的函数为严格凸的，如果则对任意, 有不等式

证明(1)：

• 先证在有定义。因为

而收敛，根据比较定理级数当时收敛，且

所以在右定义。

• 再证：设满足, 正项级数,均收敛，则

因为 正项级数,均收敛，而,注意

则

所以 正项级数,均收敛. 根据赫尔德不等式(见附录2)得到

不等式两边取对数得到

令n趋向于无穷大，则得到

根据严格凸函数定义得到时严格凸函数。

证明(2):

• 先证明在上可导。

从(1)的证明在有定义。考虑, 对于任意,因为 由于

而收敛，根据控制收敛定理在一致收敛。所以在内闭一致收敛。所以在可导，因此在可导。

• 再证明对于任意成立

根据(1)得到时的凸函数，使用定理1(1),对于任意满足, 得到

令,得到

化为

对于任意满足，根据定理1(2)得到

取得到

化为

所以

• 证明(2).根据上面结论得到

反设

作辅助函数

取定, 则

记

则容易得到

而

根据连续函数零点定理，存在使得

同理存在使得

即

两个式子相减得到

【证明完毕】

注记： 对于(1)的证明，网站贴出的答案应该不很合理，因为本题给出的严格凸函数的定义在证明中没有用到（见附录1）.对于(2)的证明，网站给出的证明似乎也不很合理（见附录1）。

附录1 某网站贴出的参考答案：

附录2 Holder不等式

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