高中数学:导数中的数学思想

发布于 2021-04-11 15:59 ，所属分类：知识学习综合资讯


数形结合思想

数形结合是利用“数”和“形”的相互转化来解决数学问题的思想方法．它为代数问题和几何问题的相互转化架起了桥梁，数形结合重在结合，它们完美的结合，往往能起到事半功倍的效果．
例、已知函数，当时取得极大值，当时取得极小值，求点对应的区域的面积以及的取值范围．
分析：利用极值的有关知识判断导函数方程的根的范围，再由导函数的图象与相应二次方程的根的关系得到关于的线性不等关系，点所对应的区域．第（2）问利用斜率求出的取值范围．
解：函数的导数为，当时取得极大值，当时取得极小值，则方程有两个根，一个根在区间内，另一个根在区间（1，2）内．
由二次函数的图象与方程的根的分布之间的关系可以得到
平面内满足约束条件的点所对应的区域为（不包括边界，其中点
，，如右图所示）．
的面积为（为点到轴的距离）
点与点连线的斜率为，显然，即．

整体代换思想

我们在思考问题的时侯，如果能根据题目中的结构特点，把问题中貌似独立，但实质上又相互联系的量看成一个整体，从而在宏观上寻求解决问题的途径，这种思想称之为整体思想．整体思想主要有整体代换、整体求值、整体变形、整体构造等．
例、已知是定义在上的函数，其图象交轴于三点．若点的坐标为，且在和上有相同的单调性，在和上有相反的单调性．
（1）求的值；
（2）在函数的图象上是否存在一点，使得在点的切线斜率为？
（3）求的取值范围．
解：（1）∵在和上有相反的单调性，
∴是的一个极值点．
故，即有一个解为，
∴．
（2）因为交轴于点，所以，即．
令，得，
∴，．
因为在和上有相反的单调性，
所以
得．
假设存在点，使得在点的切线斜率为．
则，
即．
∵．
而，．
故不存在点，使得在点的切线斜率为．
（3）由题意，设的函数图象交轴于点的坐标为、点的坐标为．
则，
比较系数得．得．
所以
∵，∴当时，；当时，．故．

本题的第（2）、（3）两问都用到了整体代换的思想，避免了求的值，大大简化了运算．运用整体思想解题是不是很巧妙？

分类讨论思想

分类讨论是中学数学的一种解题思想，对某一问题进行正确地分类讨论要有一种全局的观点，注意在分类时要不重不漏．
例1、已知，求的单调区间．
解：函数的导数
（1）当时，若，则；若，则．
则在内为减函数，在内为增函数．
（2）当时，由或，
则在或内为增函数，在内为减函数．
（3）当时，由，
则在内为增函数，在和内为减函数．

从该例的解答中可以看出必须熟练掌握一些初等函数的导数，理解给定区间上函数为增函数，函数为减函数．但要确定的符号，须对参数进行分类讨论．

例2、已知，．
（1）求函数的最大值．
（2）设，证明：．
解：（1）的定义域是，则
当时，；
当时，．
又，则当且仅当时，取最大值0．
（2）因，设．
则．
当时，，
因此在内为减函数；
当时，，
因此在内为增函数．
从而当时，有极小值．
又因，，
所以，即．
设，
则
当时，，在上为减函数．
因为，，所以，
即．
所证结论成立．

该题属于典型利用导数证明其不等式的问题，一般方法是：先构造函数（多是作差函数），再用导数确定所构造函数的单调性来证明．在证明的过程中难免要分类处理，否则难以确定新函数的正负．

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