九年级上:几何图形中一元二次方程的构造(下)

发布于 2021-08-05 13:21 ，所属分类：试题库考试资料大全

在上一期结尾，我们留了一个思考题，下来很多同学私信我说没思路。今天我就带着大家一起来解决这个问题。

拿到这道题，相信多数同学第一时间会想到半角模型，也就是把△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD和AB重合。易证全等三角形。顺着这个思路走就没什么问题，我们来看一下第一步解析：

下来实际上大家遇到的问题才是难点，即“定角定高”模型。这个词语咱们班的学生应该不会陌生，我有提过，但是没有展开讲。什么是定角定高呢？

我们看上图，如果正方形边长为定值a，那么线段EF就是一个变量，当然ME也是变量（ME=EF）。

在△AME中，一个内角∠MAE为定值45°，45°角所对边ME为变量，ME边上的高AB为定值a。这个模型就是定角定高模型，所求比例的最小值也就相当于求变量ME的最小值。我们用图形语言看：

定角定高往年五大压轴题爱考，其实做法也很简单，就是找到不变量。我们知道，在圆中同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，既然45°为弦ME所对，那我们就以ME为底边构造等腰直角三角形，用含有a的代数式去表示线段ME，从而求得最值。我们来看一下解析：

得到了ME的最小值，其实这个题就已经解决了。那我们再来想最后一个问题，最小值的情况下，线段AB和ME满足什么样的关系呢？不难发现，也就是AB垂直ME且AB平分ME时取到最小值。那就说明，定角定高模型，高为底边中垂线时，底边取得最小值。（这个大家可以记住，选填压轴可以直接用啦，一般人我不告诉他）

既然我们是要和一元二次方程结合，我们看看此题怎么去联系方程。再发一次题目：

我们为了表示线段之间的关系，需要引入字母，设AB=a，EF=b，BE=x。建立关于x的含参方程。

易得DF+BE=EF，DF=EF-BE=b-x，CF=a-b+x。

在Rt△CEF中，根据勾股定理可得：

EF²=CF²+CE²

b²=(a-x)²+(a-b+x)²

整理得：x²-bx+a²-ab=0

方程有实数根，△≥0

则b²-4(a²-ab)≥0

整理得b²-4a²+4ab≥0

到这里需要停一下，我拐回头给大家讲讲，为什么这么去构造方程。

我们再来看看我们设的未知数，可以发现，实际上所求就是b与a的比值的最小值。我们把a、b当做参量，放到了关于x（BE）的方程中，利用根的判别式找到了不等关系。

下来就是最后一步了，既然要求b与a的比值，我们就给两边同时除以a²。解析如下：

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