高阶等差数列求和公式

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之前讲过很多次杨辉三角（或贾宪三角），杨辉三角在国外叫帕斯卡三角形。这个三角（形）与很多很多的知识有联系，真的是一个伟大的三角（形）。它差不多就是下面这个样子：

由于杨辉三角中每一个数都是它“左肩”与“右肩”上两个数的和，所以，可以证明，除左侧斜线上的“1”以外的其他数N，都可以表示为这个数N“左肩”上的数M与这个数M右上方斜线上的每个数的和。比如，

4=1+1+1+1，

10=4+3+2+1，

10=6+3+1，

15=10+4+1，

等等。杨辉三角的这个性质也叫做高尔夫球杆定理（《高尔夫球杆定理》）。

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我们先观察一下杨辉三角中从左下到右上斜线上的数（像中文撇“丿”那样的斜线，或“/”样子的斜线）。

第一条斜线为常数数列1,1,1,···。它的每一项都是1，可以认为它是公差为0的等差数列，它的前n项和为n。

第二条斜线上的数为正整数数列，是首项为1，公差为1的等差数列，其前n项和公式为：

第三条斜线上的数为1,3,6,10,···。这个数列就是所谓的三角形数数列。这个数列有个特点：我们考虑后项与前项的差。显然，3－1=2，6－3=3，10－6=4，···，即这个数列后项与前项的差构成公差为1的等差数列。若设第一项仍为1，则公差构成的数列就是1,2,3,4,···，这就是第二条斜线上的正整数数列。我们把1,3,6,10,···这个数列称作二阶等差数列。若一个数列的后项与前项的差构成一个二阶等差数列，则这个数被称作三阶等差数列。依此类推，可以得到更高阶的等差数列。

第三条斜线上的数列的第n项就是其左肩上的数及其右上方所有数之和。所以，二阶等差数列的前n项就是：

那么，上面这些高阶等差数列前n项和的公式有吗？若有，会是什么样子？我们下面通过观察杨辉三角来获得所要的公式。

把杨辉三角用组合数的形式写出来，就是下图左图的样子：

观察上图中的绿色折线（高尔夫球杆）。得到：

再看红色高尔夫球杆。

得出：

再看蓝色高尔夫球杆。

得到：

对第r条斜线，有

最终，我们得到r阶等差数列前n项和公式：

我们来具体求几个特殊的高阶等差数列的和。r=2对应二阶等差数列，它的前四项和由公式得4×5×6/3!=20。对照下图，确实如此。再比如，求三阶等差数列(r=3)的前五项和，由公式得5×6×7×8/4!=70。对照下图，确实如此。

我国元代数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》一书中对高阶等差数列求和问题有过精深的研究，即“垛积术”。《四元玉鉴》是中国宋元数学成就中的一座高峰。

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参考书：

[1]华罗庚. 从杨辉三角谈起. 北京：人民教育出版社，1964年2月.

[2]李文林. 数学史教程. 北京：高等教育出版社，2000年8月.