中考数学压轴题分析:圆中无关型几何定值问题

（2021•无锡）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．

（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，
①当m

（2）本题难度较大，而且有多种情况需要讨论：当E在BC中点的左侧时；当E在BC的中点偏右侧但仍然在C的左侧；以及在点C的右侧。

分别画图，然后再用相似等知识得到边长的关系即可：

①

②

③

【答案】解：（1）①如图，过F作FG⊥BC于G，连接CF．
∵四边形ABCD是正方形，∠AEF＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠EFG，∠B＝∠G＝90°．
∵等腰直角三角形AEF，∴AE＝EF．
在△ABE和△EGF中

②如图，△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，过P作PH⊥EQ于H．

∵△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，∴△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE＝DE'．∴∠ADC+∠ADE'＝180°．∴C、D、E'共线．
∵∠BAE+∠EAD＝90°，∴∠DAE'+∠EAD＝90°．∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠E'AF＝45．
在△EAQ和△E'AQ中

，∴△EAQ≌△E'AQ（SAS）．∴∠E'＝∠AEQ，EQ＝E'Q．∴∠AEB＝∠AEQ，EQ＝DQ+DE'＝DQ+BE．
∴∠QEP＝90°﹣∠AEQ＝90°﹣∠AEB＝∠CEP，即EF是∠QEC的平分线．
又∠C＝90°，PH⊥EQ，∴PH＝PC．
∵∠BAE＝∠CEP，∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECP．∴

②如图，当

∵MG∥AB，∴．
③如图，当．

综上所述，y＝1m或y．