高考数学:等差数列求和公式有哪些,推导方法有几种?

发布于 2021-09-08 14:05 ,所属分类:数学资料学习库

等差数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。数列求和对按照一定规律排列的数进行求和,那么,等差数列求和公式有哪些呢?下面和学长一起来看看吧!

1等差数列求和公式及推论

公式:

Sn=n(a1+an)/2

Sn=na1+n(n-1)d/2=dn^2/2+(a1-d/2)n

等差数列基本公式:

末项=首项+(项数-1)×公差

项数=(末项-首项)÷公差+1

首项=末项-(项数-1)×公差

和=(首项+末项)×项数÷2

末项:最后一位数

首项:第一位数

项数:一共有几位数

和:求一共数的总和

推论:

(1)从通项公式可以看出,a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由前n项和公式知,S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0。

(2)从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1),(类似:p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1)),k∈{1,2,…,n}。

(3)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q),S(2n-1)=(2n-1)*a(n),S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1),S(k),S(2k)-S(k),S(3k)-S(2k),…,S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列,等等。若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p)。

证明:p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n);p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因为m+n=p+q,所以p(m)+p(n)=p(p)+p。

2等差数列求和常用方法

分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列.

拆项相消:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和.

错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.

倒序相加:例如,等差数列前n项和公式的推导.

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